CVaR 和 ES 补充 VaR 的风险度量方法解析（含 R 包应用）

Sat, 13 Jul 2019 00:00:00 +0000

理论基础概述

在金融风险管理领域，风险价值（VaR）是一种广泛使用的风险度量工具，它衡量在一定置信水平下，某一金融资产或投资组合在未来特定时期内可能遭受的最大损失。然而，VaR 存在一些局限性，主要体现在以下几个方面：

缺乏次可加性：在某些情况下，投资组合的 VaR 可能大于其各组成部分 VaR 之和，这与分散投资降低风险的直觉相悖。
对尾部风险的刻画不足：VaR 只关注损失分布的分位数点，而不考虑超过该点的损失程度。
不满足一致性风险度量的要求：VaR 不满足一致性风险度量公理中的次可加性、正齐次性、单调性和平移不变性。

为了克服 VaR 的这些局限性，条件风险价值（CVaR）和预期短缺（ES）作为更高级的风险度量方法被提出。CVaR 与 ES 的基本概念条件风险价值（Conditional Value at Risk, CVaR），也称为平均短缺（Average Shortfall, AS）或预期短缺（Expected Shortfall, ES），是指在给定置信水平下，超过 VaR 的损失的期望值。

它不仅考虑了损失超过 VaR 的概率，还考虑了超过部分的大小，因此能更全面地反映尾部风险。

数学公式解析

VaR 的数学定义

对于给定的投资组合收益率 R 和置信水平 \(\alpha\)，VaR 可以定义为：

\[ \text{VaR}_\alpha = -\inf \{ x \in \mathbb{R} : F_R(x) \geq \alpha \} \]

其中，\(F_R(x)\) 是收益率 \(R\) 的累积分布函数。

在实际应用中，VaR 通常表示为：

\[ P(R \leq -\text{VaR}_\alpha) = 1 - \alpha \]

CVaR/ES 的数学定义

CVaR/ES 在置信水平 \(\alpha\) 下的定义为：

\[ \text{CVaR}_\alpha = \text{ES}_\alpha = \mathbb{E}[-R | R \leq -\text{VaR}_\alpha] \]

当收益率分布连续时，CVaR/ES 可以表示为：

\[ \text{ES}_\alpha = \frac{1}{1-\alpha} \int_{0}^{1-\alpha} \text{VaR}_p \, dp \]

这个公式表明，ES 是所有低于 \(\alpha\) 置信水平的 VaR 的平均值。

R 语言实现示例

下面通过 R 语言实现基于纳斯达克数据的 VaR、CVaR 和 ES 计算，使用 quantmod 包获取数据，并对比不同 R 包的计算方法。

使用 quantmod 获取数据

# 加载必要的包
library(quantmod)
library(PerformanceAnalytics)
library(xts)
library(tibble)
library(dplyr)
library(ggplot2)
library(showtext) # 用于设置中文字体

# 设置中文字体
font_add("SimHei", "SimHei.ttf") # 如果字体已安装
# 如果字体未安装，可以尝试系统字体路径
# font_add("SimHei", "/path/to/SimHei.ttf") # Linux/Mac
# font_add("SimHei", "C:/Windows/Fonts/simhei.ttf") # Windows

showtext_auto() # 自动启用showtext

# 获取纳斯达克综合指数数据
getSymbols("^IXIC", from = "2020-01-01", to = Sys.Date())

## [1] "IXIC"

# 计算日对数收益率
returns <- diff(log(Cl(IXIC)))
returns <- na.omit(returns)

# 设置置信水平
alpha <- 0.95
risk_results <- list()

使用不同 R 包计算 ES/CVaR

PerformanceAnalytics 包

# 使用PerformanceAnalytics包计算ES

VaR_historical <- PerformanceAnalytics::VaR(returns, p = alpha , method = "historical")
VaR_gaussian <- PerformanceAnalytics::VaR(returns, p = alpha , method = "gaussian")
es_historical <- PerformanceAnalytics::ES(returns, p = alpha, method = "historical")
es_gaussian <- PerformanceAnalytics::ES(returns, p = alpha, method = "gaussian")

cat("PerformanceAnalytics包计算结果:\n")

## PerformanceAnalytics包计算结果:

cat("历史模拟法 VaR:", round(VaR_historical * 100, 2), "%\n")

## 历史模拟法 VaR: -2.58 %

cat("正态分布假设 VaR:", round(VaR_gaussian * 100, 2), "%\n")

## 正态分布假设 VaR: -2.64 %

cat("历史模拟法 ES:", round(es_historical * 100, 2), "%\n")

## 历史模拟法 ES: -3.91 %

cat("正态分布假设 ES:", round(es_gaussian * 100, 2), "%\n")

## 正态分布假设 ES: -3.32 %

risk_results[["performance"]] <- list(
 VaR_historical = VaR_historical,
 VaR_gaussian = VaR_gaussian,
 es_historical = es_historical,
 es_gaussian = es_gaussian
)

fGarch 包

# 使用fGarch包计算ES
library(fGarch)
# 拟合GARCH模型并预测
garch_model <- garchFit(~garch(1,1), data = returns, trace = FALSE)
forecast <- predict(garch_model, n.ahead = 1)
es_garch <- tail(fGarch::ES(garch_model), n = 1)
var_garch <- tail(fGarch::VaR(garch_model), n = 1)
cat("\nfGarch包计算结果:\n")

## 
## fGarch包计算结果:

cat("GARCH模型预测 VaR:", round(var_garch * 100, 2), "%\n")

## GARCH模型预测 VaR: 1.47 %

cat("GARCH模型预测 ES:", round(es_garch * 100, 2), "%\n")

## GARCH模型预测 ES: 1.86 %

risk_results[["fgarch"]] <- list(
 var_garch = var_garch,
 es_garch = es_garch
)

cvar包（针对连续分布的VaR/ES计算）

if (!require("cvar")) install.packages("cvar")

## Loading required package: cvar

## 
## Attaching package: 'cvar'

## The following objects are masked from 'package:PerformanceAnalytics':
## 
## ES, VaR

library(cvar)

# 标准正态分布计算
gaussian_es <- list(
 qf = cvar::ES(qnorm, dist.type = "qf"), # 使用分位数函数
 cdf = cvar::ES(pnorm, dist.type = "cdf") # 使用累积分布函数
)

# t分布计算（df=4）
t_dist_es <- list(
 qf = cvar::ES(qt, dist.type = "qf", df = 4),
 cdf = cvar::ES(pt, dist.type = "cdf", df = 4)
)

risk_results[["cvar"]] <- list(
 gaussian_es = gaussian_es,
 t_dist_es = t_dist_es
)

rugarch 包

# 加载必要的包
library(rugarch)

## Loading required package: parallel

library(xts) # 处理时间序列数据

# 定义GARCH模型（使用偏态t分布）
spec <- ugarchspec(
 variance.model = list(model = "sGARCH", garchOrder = c(1, 1)),
 mean.model = list(armaOrder = c(0, 0), include.mean = TRUE),
 distribution.model = "sstd" # 偏态t分布
)

# 拟合模型
fit <- ugarchfit(spec, data = returns, solver = "hybrid")

# 使用固定参数重新过滤数据
spec2 <- spec
setfixed(spec2) <- as.list(coef(fit))
filt <- ugarchfilter(spec2, data = returns, n.old = 1000)

# 提取拟合值和波动率
mu <- fitted(filt) # 条件均值
sigma_t <- sigma(filt) # 条件波动率

# 获取分布参数
skew <- coef(fit)["skew"]
shape <- coef(fit)["shape"]

# 计算VaR (使用向量化方法)
p <- 0.05 # 置信水平(1-95%)
VaR <- mu + sigma_t * qdist("sstd", p = p, mu = 0, sigma = 1, skew = skew, shape = shape)

# 计算ES (使用数值积分)
es_integrand <- function(x) {
 qdist("sstd", p = x, mu = 0, sigma = 1, skew = skew, shape = shape)
}

# 向量化积分计算（对每个时间点单独计算ES）
ES <- numeric(length(returns))
for (i in 1:length(returns)) {
 int_result <- integrate(es_integrand, lower = 0, upper = p, subdivisions = 1000)
 ES[i] <- mu[i] + sigma_t[i] * int_result$value / p
}

# 确保所有向量长度一致（处理可能的长度差异）
min_len <- min(length(returns), length(VaR), length(ES))
actual <- as.numeric(tail(returns, min_len))
VaR <- tail(as.numeric(tail(VaR, min_len)),1)
ES <- tail(as.numeric(tail(ES, min_len)),1)

risk_results[["rugarch"]] <- list(
 VaR = VaR,
 ES = ES
)

gets包（基于ARX模型的条件风险度量）

# 加载必要的包
library(gets)

## 
## Attaching package: 'gets'

## The following objects are masked from 'package:cvar':
## 
## ES, VaR

## The following objects are masked from 'package:fGarch':
## 
## ES, VaR

## The following objects are masked from 'package:PerformanceAnalytics':
## 
## ES, VaR

returns <- diff(log(Cl(IXIC))) 
returns <- as.vector(na.omit(returns)) # 强制转换为普通向量

# 设置置信水平
alpha <- 0.95

# 构建ARX模型（滞后1阶）
# 使用普通向量而非xts对象
arx_model <- arx(returns, mc=TRUE, ar=1) # 直接使用向量格式

# 计算VaR和ES
risk_results[["gets"]] <- list(
 VaR = quantile(arx_model$residuals, probs=1-alpha),
 ES = mean(arx_model$residuals[arx_model$residuals <= quantile(arx_model$residuals, probs=1-alpha)])
)

# 打印结果
cat("ARX模型风险度量结果:\n")

## ARX模型风险度量结果:

cat("VaR (", alpha*100, "%):", round(risk_results[["gets"]]$VaR*100, 2), "%\n")

## VaR ( 95 %): -2.64 %

cat("ES (", alpha*100, "%):", round(risk_results[["gets"]]$ES*100, 2), "%\n")

## ES ( 95 %): -3.93 %

MSGARCH包（贝叶斯方法的风险预测）

if (!require("MSGARCH")) install.packages("MSGARCH")

## Loading required package: MSGARCH

library(MSGARCH)
spec_msgarch <- CreateSpec()
fit_msgarch <- FitML(spec_msgarch, data = returns)
risk_msgarch <- Risk(fit_msgarch, n.ahead = 1, level = alpha)
risk_results[["MSGARCH"]] <- list(
 VaR = as.numeric(risk_msgarch$VaR),
 ES = as.numeric(risk_msgarch$ES)
)

VaRES包（多种参数分布的风险度量）

if (!require("VaRES")) install.packages("VaRES")

## Loading required package: VaRES

library(VaRES)

returns <- diff(log(Cl(IXIC))) 
returns <- as.vector(na.omit(returns)) # 强制转换为普通向量

# 手动计算 VaR 和 ES（假设 df = 4）
df <- 4
alpha <- 0.05 # 95% 置信水平

# 计算 t 分布的 VaR
VaR_t <- -quantile(rt(n = 1e6, df = df), probs = alpha) * sd(returns)

# 计算 t 分布的 ES（解析解）
ES_t <- (dt(qt(alpha, df = df), df = df) / alpha) * 
 ((df + qt(alpha, df = df)^2) / (df - 2)) * 
 sd(returns)

risk_results[["VaRES"]] <- list(VaR = VaR_t, ES = ES_t)

结果对比与可视化

# 从risk_results中提取各方法的VaR和ES（统一格式：保留数值，处理符号）
returns_vec <- as.vector(returns) # 转换为向量用于部分模型

results <- tibble(
 方法 = c(
 "历史模拟法", 
 "正态分布假设", 
 "GARCH(fGarch)", 
 "GARCH(rugarch)", 
 "MSGARCH", 
 "ARX模型(gets)", 
 "t分布(VaRES)"
 ),
 # 提取VaR（统一为损失幅度，取绝对值或修正符号）
 VaR = c(
 as.numeric(risk_results$performance$VaR_historical) %>% abs(), # 历史模拟法
 as.numeric(risk_results$performance$VaR_gaussian) %>% abs(), # 正态分布
 as.numeric(risk_results$fgarch$var_garch), # fGarch
 as.numeric(risk_results$rugarch$VaR) %>% abs(), # rugarch
 as.numeric(risk_results$MSGARCH$VaR[1]) %>% abs(), # MSGARCH（取第一个结果）
 as.numeric(risk_results$gets$VaR) %>% abs(), # ARX模型
 as.numeric(risk_results$VaRES$VaR) # VaRES包
 ),
 # 提取ES（统一为损失幅度，取绝对值或修正符号）
 ES = c(
 as.numeric(risk_results$performance$es_historical) %>% abs(), # 历史模拟法
 as.numeric(risk_results$performance$es_gaussian) %>% abs(), # 正态分布
 as.numeric(risk_results$fgarch$es_garch), # fGarch
 as.numeric(risk_results$rugarch$ES) %>% abs(), # rugarch
 as.numeric(risk_results$MSGARCH$ES[1]) %>% abs(), # MSGARCH（取第一个结果）
 as.numeric(risk_results$gets$ES) %>% abs(), # ARX模型
 as.numeric(risk_results$VaRES$ES) # VaRES包
 )
)

# 转换为百分比（乘以100）
results <- results %>% 
 mutate(
 VaR_pct = VaR * 100,
 ES_pct = ES * 100
 )



# 不同方法的ES对比图
ggplot(results, aes(x = 方法, y = ES_pct, fill = 方法)) +
 geom_col(width = 0.7, show.legend = FALSE) + # 柱状图，不显示图例
 geom_text(
 aes(label = sprintf("%.2f%%", ES_pct)), # 显示百分比标签
 vjust = -0.5, size = 4, family = "SimHei"
 ) +
 labs(
 title = "不同方法计算的预期损失(ES)对比",
 x = "风险度量方法",
 y = "ES（%）",
 caption = "数据来源：纳斯达克指数(2020-2025)日对数收益率"
 ) +
 ylim(0, max(results$ES_pct) * 1.2) + # 调整y轴范围，避免标签超出
 theme_minimal(base_family = "SimHei") +
 theme(
 plot.title = element_text(hjust = 0.5, face = "bold", size = 14),
 axis.text.x = element_text(angle = 45, hjust = 1, size = 10),
 plot.caption = element_text(hjust = 0, size = 8, color = "gray50")
 )

# 不同方法的VaR对比图
ggplot(results, aes(x = 方法, y = VaR_pct, fill = 方法)) +
 geom_col(width = 0.7, show.legend = FALSE) +
 geom_text(
 aes(label = sprintf("%.2f%%", VaR_pct)),
 vjust = -0.5, size = 4, family = "SimHei"
 ) +
 labs(
 title = "不同方法计算的风险价值(VaR)对比",
 x = "风险度量方法",
 y = "VaR（%）",
 caption = "数据来源：纳斯达克指数(2020-2025)日对数收益率"
 ) +
 ylim(0, max(results$VaR_pct) * 1.2) +
 theme_minimal(base_family = "SimHei") +
 theme(
 plot.title = element_text(hjust = 0.5, face = "bold", size = 14),
 axis.text.x = element_text(angle = 45, hjust = 1, size = 10),
 plot.caption = element_text(hjust = 0, size = 8, color = "gray50")
 )

# 收益率分布与ES标记
# 绘制收益率直方图，并标记历史模拟法ES
p <- ggplot(data = tibble(returns = returns_vec), aes(x = returns)) +
 geom_histogram(
 aes(y = after_stat(density)), # 密度直方图
 bins = 50, fill = "lightblue", color = "white"
 ) +
 # 添加核密度曲线
 geom_density(color = "darkblue", linewidth = 0.8) +
 # 标记历史模拟法ES（取绝对值对应的收益率位置）
 geom_vline(
 xintercept = -results$ES[results$方法 == "历史模拟法"] / 100, # 转换为收益率（负值表示损失）
 color = "red", linewidth = 1.2, linetype = "dashed"
 ) +
 annotate(
 "text", x = -results$ES[results$方法 == "历史模拟法"] / 100, y = 5,
 label = sprintf("历史模拟法ES: %.2f%%", results$ES[results$方法 == "历史模拟法"]),
 color = "red", hjust = 1.1, family = "SimHei"
 ) +
 labs(
 title = "纳斯达克指数日对数收益率分布",
 x = "日对数收益率",
 y = "密度"
 ) +
 theme_minimal(base_family = "SimHei") +
 theme(
 plot.title = element_text(hjust = 0.5, face = "bold")
 )
print(p)

# ----------------------
# 输出数值结果
# ----------------------
cat("各方法风险度量结果（百分比）：\n")

## 各方法风险度量结果（百分比）：

results %>% 
 select(方法, VaR_pct, ES_pct) %>% 
 rename(
 "风险度量方法" = 方法,
 "VaR（%）" = VaR_pct,
 "ES（%）" = ES_pct
 ) %>% 
 print(n = Inf)

## # A tibble: 7 × 3
## 风险度量方法 `VaR（%）` `ES（%）`
## <chr> <dbl> <dbl>
## 1 历史模拟法 2.58 3.91
## 2 正态分布假设 2.64 3.32
## 3 GARCH(fGarch) 1.47 1.86
## 4 GARCH(rugarch) 1.48 2.07
## 5 MSGARCH 2.25 2.73
## 6 ARX模型(gets) 2.64 3.93
## 7 t分布(VaRES) 3.47 7.87

结论CVaR 和 ES 作为 VaR 的补充工具，能够更全面地度量金融风险，尤其是在处理尾部风险时表现更为出色。通过结合使用 VaR、CVaR 和 ES，风险管理者可以获得更完整的风险图景，从而做出更明智的风险管理决策。在实际应用中，应根据投资组合的特性和市场环境选择合适的风险度量方法。

不同 R 包提供了多种计算 ES/CVaR 的方法，各有特点：PerformanceAnalytics：简单易用，支持多种分布假设RiskPortfolios：专注投资组合风险分析fGarch/rugarch：适合结合 GARCH 模型处理时变波动率ExpectedShortfall：提供 ES 回测功能建议结合数据特性（如是否存在厚尾、波动聚类等）选择合适的模型，并对比不同方法的结果以确保对极端风险的充分考虑。

CVaR on 格物堂